Движение по реке, скорость течения, плот
1
Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 час меньше,
чем при движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
-
Обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как \( v \) км/ч. Тогда скорость лодки против течения будет \( v - 2 \) км/ч, а скорость по течению — \( v + 2 \) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, можно выразить как:
\[
t_1 = \frac{24}{v - 2}
\]
Время, затраченное на обратный путь, составит:
\[
t_2 = \frac{24}{v + 2}
\]
По условию задачи, время на обратный путь на 1 час меньше, чем время на путь против течения:
\[
t_2 = t_1 - 1
\]
Подставим наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[
\frac{24}{v + 2} = \frac{24}{v - 2} - 1
\]
Теперь приводим уравнение к общему виду. Умножим обе стороны на \( (v + 2)(v - 2) \):
\[
24(v - 2) = 24(v + 2) - (v + 2)(v - 2)
\]
Раскроем скобки:
\[
24v - 48 = 24v + 48 - (v^2 - 4)
\]
Упрощаем уравнение:
\[
24v - 48 = 24v + 48 - v^2 + 4
\]
Сокращаем \( 24v \) с обеих сторон:
\[
-48 = 48 - v^2 + 4
\]
Приведем подобные:
\[
-48 = 52 - v^2
\]
Переносим \( 52 \) влево:
\[
-48 - 52 = -v^2
\]
\[
-100 = -v^2
\]
Умножим обе стороны на -1:
\[
v^2 = 100
\]
Извлекаем корень:
\[
v = 10
\]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет \( \boxed{10} \) км/ч.
2
Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше,
чем при движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.
-
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( v \) км/ч. Когда лодка движется против течения, её скорость будет равна \( v - 3 \) км/ч (вязь с течением), а когда она движется по течению — \( v + 3 \) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, можно найти по формуле:
\[
t_1 = \frac{d}{v - 3} = \frac{24}{v - 3}
\]
А время, затраченное на путь по течению:
\[
t_2 = \frac{d}{v + 3} = \frac{24}{v + 3}
\]
Согласно условию, на обратный путь лодка затратила на 20 минут меньше, чем на путь против течения. Так как 20 минут — это \( \frac{1}{3} \) часа, можно записать уравнение:
\[
t_2 = t_1 - \frac{1}{3}
\]
Подставляя выражения для времени, получаем:
\[
\frac{24}{v + 3} = \frac{24}{v - 3} - \frac{1}{3}
\]
Теперь умножим оба части уравнения на \( 3(v + 3)(v - 3) \) для устранения дробей:
\[
3 \cdot 24(v - 3) = 3 \cdot 24(v + 3) - (v + 3)(v - 3)
\]
Упрощаем уравнение:
\[
72(v - 3) = 72(v + 3) - (v^2 - 9)
\]
\[
72v - 216 = 72v + 216 - v^2 + 9
\]
Сокращаем \( 72v \) с обеих сторон:
\[
-216 = 216 - v^2 + 9
\]
\[
-216 = 225 - v^2
\]
Переносим все в одну сторону:
\[
v^2 - 216 - 225 = 0
\]
\[
v^2 - 441 = 0
\]
\[
v^2 = 441
\]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[
v = 21
\]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет \( 21 \) км/ч.
3
Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления,
затратив на обратный путь на шесть с половиной часов меньше.
Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.
-
Обозначим скорость течения реки как \( v \) км/ч. Скорость лодки против течения будет равна \( 16 - v \) км/ч, а со течением — \( 16 + v \) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, можно выразить следующим образом:
\[
t_1 = \frac{195}{16 - v}
\]
Время, затраченное на путь с течением:
\[
t_2 = \frac{195}{16 + v}
\]
Согласно условию задачи, на обратный путь лодка потратила на 6.5 часов меньше, чем на путь против течения:
\[
t_1 - t_2 = 6.5
\]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[
\frac{195}{16 - v} - \frac{195}{16 + v} = 6.5
\]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на \( (16 - v)(16 + v) \):
\[
195(16 + v) - 195(16 - v) = 6.5(16 - v)(16 + v)
\]
Упрощаем:
\[
195(16 + v - 16 + v) = 6.5(256 - v^2)
\]
\[
195 \cdot 2v = 6.5(256 - v^2)
\]
\[
390v = 6.5 \cdot 256 - 6.5v^2
\]
Переносим все в одну сторону:
\[
6.5v^2 + 390v - 1664 = 0
\]
Теперь домножим уравнение на 2 для упрощения:
\[
13v^2 + 780v - 3328 = 0
\]
Таким образом, скорость течения реки составляет:
\[
\boxed{4} \, \text{км/ч}
\]
4
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается в пункт отправления.
Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 23 км/ч, стоянка длится 8 часов,
а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
-
Обозначим скорость течения реки как \( v \) км/ч. Скорость теплохода по течению будет \( 23 + v \) км/ч, а против течения — \( 23 - v \) км/ч.
Теплоход сначала движется по течению к пункту назначения, а затем возвращается обратно. Важно учитывать время стоянки в пункте назначения.
1. **Время в пути на движение по течению:**
\[
t_1 = \frac{513}{23 + v}
\]
2. **Время в пути на движение против течения:**
\[
t_2 = \frac{513}{23 - v}
\]
3. **Общее время в пути и стоянки:**
Мы знаем, что общее время с момента отправления до возвращения — 54 часа. Из этого времени 8 часов занимает стоянка, следовательно, на движение уходит:
\[
t_1 + t_2 = 54 - 8 = 46 \text{ часов}
\]
Теперь составим уравнение:
\[
\frac{513}{23 + v} + \frac{513}{23 - v} = 46
\]
Умножим обе стороны уравнения на \( (23 + v)(23 - v) \):
\[
513(23 - v) + 513(23 + v) = 46(23 + v)(23 - v)
\]
Упрощаем это уравнение:
\[
513 \cdot 23 - 513v + 513 \cdot 23 + 513v = 46(23^2 - v^2)
\]
\[
1026 \cdot 23 = 46(529 - v^2)
\]
Теперь считаем \( 1026 \cdot 23 \):
\[
1026 \cdot 23 = 23598
\]
Подставляем это в уравнение:
\[
23598 = 46(529 - v^2)
\]
Делим обе стороны на 46:
\[
\frac{23598}{46} = 529 - v^2
\]
\[
513 = 529 - v^2
\]
Решаем уравнение:
\[
v^2 = 529 - 513 = 16
\]
\[
v = \sqrt{16} = 4
\]
Таким образом, скорость течения реки \( v = 4 \) км/ч.
5
Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А.
Пробыв в пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00.
Определите (в км/ч)
собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
-
1. **Найдём время в пути к пункту В.**
- Катер вышел из пункта А в 10:00 и возвращается в пункт А в 18:00.
- Он провел в пункте В 4 часа, значит общее время в пути равно:
\[
18:00 - 10:00 = 8 \text{ часов (все время в пути)}
\]
- Из этого времени 4 часа он находился в пункте В, значит:
\[
\text{Время в пути} = 8 \text{ часов} - 4 \text{ часа} = 4 \text{ часа}
\]
2. **Разделим время в пути на два этапа: время в пути к пункту В и время в пути обратно в пункт А.**
- Обозначим время на пути к В как \( t_1 \) и время на пути обратно как \( t_2 \).
- Так как расстояние в одну сторону составляет 15 км, то:
\[
t_1 + t_2 = 4 \text{ часа}
\]
3. **Определяем скорости:**
- Скорость катера относительно воды - \( v \) (км/ч).
- Скорость течения реки - 2 км/ч.
- Скорость катера по течению (к пункту В):
\[
v_{\text{В}} = v + 2
\]
- Скорость катера против течения (обратно в пункт А):
\[
v_{\text{А}} = v - 2
\]
4. **Записываем уравнения для времени в пути:**
- Для пути к пункту В:
\[
t_1 = \frac{15}{v + 2}
\]
- Для пути обратно:
\[
t_2 = \frac{15}{v - 2}
\]
Теперь запишем уравнение для времени:
\[
\frac{15}{v + 2} + \frac{15}{v - 2} = 4
\]
5. **Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((v + 2)(v - 2)\)**:
\[
15(v - 2) + 15(v + 2) = 4(v^2 - 4)
\]
\[
15v - 30 + 15v + 30 = 4v^2 - 16
\]
\[
30v = 4v^2 - 16
\]
\[
4v^2 - 30v - 16 = 0
\]
6. **Решаем квадратное уравнение.**
Используя формулу квадратного уравнения:
\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где \( a = 4, b = -30, c = -16 \):
\[
v = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-16)}}{2 \cdot 4}
\]
\[
v = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 256}}{8}
\]
\[
v = \frac{30 \pm \sqrt{1156}}{8}
\]
\[
\sqrt{1156} = 34 \implies v = \frac{30 \pm 34}{8}
\]
Получаем два значения:
\[
v_1 = \frac{64}{8} = 8
\]
\[
v_2 = \frac{-4}{8} = -0.5 \quad (\text{неподходящее значение})
\]
Таким образом, собственная скорость катера \( v = 8 \, \text{км/ч} \)
8
6
Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А.
Пробыв в пункте В 4 часа, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00.
Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна
8 км/ч.
-
Для решения задачи давайте обозначим:
- \( v_b = 8 \) км/ч — собственная скорость баржи,
- \( v_t \) — скорость течения реки,
- Скорость баржи вниз по течению будет \( v_b + v_t \),
- Скорость баржи вверх по течению будет \( v_b - v_t \).
1. **Время в пути вниз по течению:**
Баржа вышла из пункта А в 10:00 и прибыла в пункт В. Расстояние от А до В составляет 15 км. Время в пути вниз по течению можно рассчитать по формуле:
\[
t_1 = \frac{15}{v_b + v_t}
\]
2. **Время ожидания в пункте В:**
Баржа пробудет в пункте В 4 часа, поэтому время по возвращению будет:
\[
t_{ожидания} = 4 \text{ часа}
\]
3. **Время в пути вверх по течению:**
После этого баржа отправляется обратно в пункт А. Расстояние также равно 15 км. Время в пути вверх по течению:
\[
t_2 = \frac{15}{v_b - v_t}
\]
4. **Общее время путешествия:**
Баржа вернулась в пункт А в 18:00. В пути она провела от 10:00 до 18:00, что составляет 8 часов. С учетом 4 часов ожидания в В, общее время в пути вниз и вверх составляет:
\[
t_1 + t_2 + t_{ожидания} = 8
\]
\[
t_1 + t_2 + 4 = 8
\]
\[
t_1 + t_2 = 4
\]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[
\frac{15}{v_b + v_t} + \frac{15}{v_b - v_t} = 4
\]
5. **Подстановка значений и упрощение уравнения:**
Теперь подставим \( v_b = 8 \):
\[
\frac{15}{8 + v_t} + \frac{15}{8 - v_t} = 4
\]
Умножим обе стороны уравнения на \( (8 + v_t)(8 - v_t) \):
\[
15(8 - v_t) + 15(8 + v_t) = 4(8 + v_t)(8 - v_t)
\]
Упрощаем левую часть:
\[
15 \cdot 8 - 15v_t + 15 \cdot 8 + 15v_t = 240
\]
Левая часть равна:
\[
30 \cdot 8 = 240
\]
Теперь правая часть:
\[
4(64 - v_t^2) = 256 - 4v_t^2
\]
Поэтому теперь у нас есть уравнение:
\[
240 = 256 - 4v_t^2
\]
Переписываем его:
\[
4v_t^2 = 16
\]
\[
v_t^2 = 4
\]
\[
v_t = 2 \text{ км/ч}
\]
Итак, скорость течения реки \( v_t \) равна 2 км/ч.
2
7 Задача на плот
Расстояние между пристанями А и В равно 60 км.
Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчасповернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот прошел 36 км.
Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки
равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Расстояние ме
-
### Дано:
- Расстояние между пристанями A и B: 60 км.
- Скорость течения реки: 4 км/ч.
- Плот прошел 36 км, когда лодка вернулась на место.
### 1. Расчет времени, за которое плот прошел 36 км
Плот движется по течению реки со скоростью 4 км/ч. Учитывая, что он прошел 36 км:
\[
t_{\text{плота}} = \frac{36 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 9 \text{ часов}.
\]
### 2. Время, за которое лодка добирается до B и обратно
Плот отправился в 0 часов, и через 1 час после начала (в 1 час) отправилась моторная лодка. Следовательно, к моменту, когда лодка покинула берег, плот прошел 4 км (за 1 час).
**Расстояние от A до B:** 60 км.
Так как лодка отправилась через 1 час и вернулась в тот момент, когда плот прошел 36 км (что произошло через 9 часов после начала), это означает, что лодка потратила 8 часов на весь путь (до B и обратно). Обозначим время, за которое лодка доходит до B, как \( t_1 \), а время, за которое она возвращается в A, как \( t_2 \).
### 3. Расчеты для лодки
Лодка идет по течению (до B) с эффективной скоростью \( v + 4 \), а на обратном пути — против течения с эффективной скоростью \( v - 4 \).
1. Лодка потратила \( t_1 \) часов на путь до B:
\[
t_1 = \frac{60}{v + 4}.
\]
2. Лодка потратила \( t_2 \) часов на обратный путь:
\[
t_2 = \frac{60}{v - 4}.
\]
### 4. Уравнение времени
Общее время в пути для лодки (т.к. она шла 8 часов) можно записать так:
\[
t_1 + t_2 = 8.
\]
Подставим значения \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[
\frac{60}{v + 4} + \frac{60}{v - 4} = 8.
\]
### 5. Умножим уравнение на \( (v + 4)(v - 4) \) для исключения дробей:
\[
60(v - 4) + 60(v + 4) = 8(v^2 - 16).
\]
Раскроем скобки:
\[
60v - 240 + 60v + 240 = 8v^2 - 128.
\]
\[
120v = 8v^2 - 128.
\]
Перепишем уравнение:
\[
8v^2 - 120v - 128 = 0.
\]
### 6. Разделим на 8:
\[
v^2 - 15v - 16 = 0.
\]
### 7. Решим это квадратное уравнение по формуле:
\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}.
\]
\[
= \frac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}.
\]
### 8. Находим корни:
\[
v_1 = \frac{32}{2} = 16 \text{ км/ч},\quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \text{ км/ч (не имеет смысла)}.
\]
### Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде составляет **16 км/ч**
16