КУБ
5.1.1
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в два раза?
-
ChatGPT (14:07:54): Площадь поверхности куба рассчитывается по формуле:
\[
S = 6a^2
\]
где \(a\) — длина ребра куба.
Если длина ребра куба увеличивается в два раза, то новое ребро будет \(2a\). Подставим это значение в формулу для площади:
\[
S_{новый} = 6(2a)^2 = 6 \cdot 4a^2 = 24a^2
\]
Теперь найдем, во сколько раз увеличилась площадь поверхности:
\[
\frac{S_{новый}}{S_{старый}} = \frac{24a^2}{6a^2} = 4.
\]
Таким образом, площадь поверхности куба увеличится в 4 раза
5.1.2
Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.
-
ChatGPT (14:07:54): Площадь поверхности куба рассчитывается по формуле:
\[
S = 6a^2
\]
где \(a\) — длина ребра куба.
Если длина ребра куба увеличивается в два раза, то новое ребро будет \(2a\). Подставим это значение в формулу для площади:
\[
S_{новый} = 6(2a)^2 = 6 \cdot 4a^2 = 24a^2
\]
Теперь найдем, во сколько раз увеличилась площадь поверхности:
\[
\frac{S_{новый}}{S_{старый}} = \frac{24a^2}{6a^2} = 4.
\]
Таким образом, площадь поверхности куба увеличится в 4 раза.КопироватьПоделиться с друзьями
Вы (14:09:27): 5.1.2 Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.
ChatGPT (14:10:15): Диагональ куба \(d\) связана с длиной ребра \(a\) куба по формуле:
\[
d = a\sqrt{3}
\]
В данном случае диагональ куба равна 1:
\[
1 = a\sqrt{3}
\]
Чтобы найти \(a\), выразим его из уравнения:
\[
a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
Теперь можем найти площадь поверхности куба, используя формулу:
\[
S = 6a^2
\]
Сначала найдем \(a^2\):
\[
a^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]
Теперь подставим \(a^2\) в формулу для площади:
\[
S = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2
\]
Таким образом, площадь поверхности куба равна \(2\).
5.1.3
Диагональ куба равна 
. Найдите его объём.
. Найдите его объём.
-
8
5.1.4
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 19. Найдите ребро куба.
-
Обозначим длину ребра куба за \( a \). Тогда объем куба можно выразить как:
\[
V = a^3
\]
Если каждое ребро увеличить на 1, то новое ребро станет \( a + 1 \), и новый объем будет:
\[
V_{\text{новый}} = (a + 1)^3
\]
По условию задачи, увеличение объема составляет 19:
\[
V_{\text{новый}} - V = 19
\]
Подставим выражения для объемов:
\[
(a + 1)^3 - a^3 = 19
\]
Теперь раскроем скобки:
\[
(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - a^3 = 19
\]
Упрощаем уравнение:
\[
3a^2 + 3a + 1 = 19
\]
Переносим 19 в левую часть:
\[
3a^2 + 3a + 1 - 19 = 0
\]
Упрощаем:
\[
3a^2 + 3a - 18 = 0
\]
Делим всё уравнение на 3:
\[
a^2 + a - 6 = 0
\]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:
\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \):
\[
a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}
\]
\[
= \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}
\]
\[
= \frac{-1 \pm 5}{2}
\]
Теперь найдем два возможных значения для \( a \):
1. \( a = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( a = \frac{-6}{2} = -3 \) (это значение не подходит, так как длина ребра не может быть отрицательной)
Таким образом, длина ребра куба равна 2.
Параллелепипед
5.1.5
B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D известны
D1C1=
AA1 = 2, A1D1 = 6. Опеределите длину диагонали С1А
AA1 = 2, A1D1 = 6. Опеределите длину диагонали С1А
-
15
5.1.6
B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
известны D1B = 
, BB1 = 5, B1C1 = 6.
Найдите длину ребра А1В1
, BB1 = 5, B1C1 = 6.
Найдите длину ребра А1В1
-
4
5.1.7
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4.
Найдите объём параллелепипеда.
-
Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, можно использовать формулу:
\[
V = S \cdot h
\]
где:
- \( V \) — объём,
- \( S \) — площадь грани,
- \( h \) — длина ребра, перпендикулярного этой грани.
В данном случае:
- Площадь грани \( S = 12 \),
- Длина перпендикулярного ребра \( h = 4 \).
Теперь подставим значения в формулу:
\[
V = 12 \cdot 4 = 48
\]
Таким образом, объём параллелепипеда равен \( 48 \) кубических единиц.
5.1.8
Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3.
Найдите площадь его поверхности.
-
Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, нужно использовать формулу:
\[
S = 2(ab + ac + bc)
\]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — длины рёбер параллелепипеда.
В данном случае:
- \( a = 1 \)
- \( b = 2 \)
- \( c = 3 \)
Теперь подставим значения в формулу:
\[
S = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3)
\]
Посчитаем каждое произведение:
\[
1 \cdot 2 = 2
\]
\[
1 \cdot 3 = 3
\]
\[
2 \cdot 3 = 6
\]
Теперь сложим результаты:
\[
2 + 3 + 6 = 11
\]
Теперь умножим на 2:
\[
S = 2 \cdot 11 = 22
\]
Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \( 22 \) квадратных единиц.
5.1.9
Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности
параллелепипеда.
-
Для решения задачи сначала обозначим длины рёбер параллелепипеда:
- \( a = 2 \)
- \( b = 4 \)
- \( c \) — неизвестное ребро.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
\]
Где \( d \) — диагональ. Подставим известные значения:
\[
6 = \sqrt{2^2 + 4^2 + c^2}
\]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[
36 = 4 + 16 + c^2
\]
Сложим известные значения:
\[
36 = 20 + c^2
\]
Теперь выразим \( c^2 \):
\[
c^2 = 36 - 20 = 16
\]
Следовательно, \( c = \sqrt{16} = 4 \).
Теперь у нас есть все три ребра параллелепипеда:
- \( a = 2 \)
- \( b = 4 \)
- \( c = 4 \)
Теперь можем найти площадь поверхности параллелепипеда по формуле:
\[
S = 2(ab + ac + bc)
\]
Подставим значения:
\[
S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4)
\]
Посчитаем каждое произведение:
\[
2 \cdot 4 = 8
\]
\[
2 \cdot 4 = 8
\]
\[
4 \cdot 4 = 16
\]
Теперь сложим результаты:
\[
8 + 8 + 16 = 32
\]
Теперь умножим на 2:
\[
S = 2 \cdot 32 = 64
\]
Таким образом, площадь поверхности параллелепипеда равна \( 64 \) квадратных единиц.
5.1.10
Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны
-
4,5
5.1.11
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 3, а высота - 6.
-
Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, используем формулу:
\[
S_{\text{бок}} = P \cdot h
\]
где:
- \( P \) — периметр основания,
- \( h \) — высота призмы.
1. Найдём периметр основания. Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной \( a = 3 \). Периметр \( P \) правильного шестиугольника вычисляется по формуле:
\[
P = 6a
\]
Подставим значение стороны:
\[
P = 6 \cdot 3 = 18
\]
2. Теперь подставим периметр и высоту в формулу для площади боковой поверхности. Высота \( h = 6 \):
\[
S_{\text{бок}} = P \cdot h = 18 \cdot 6 = 108
\]
Таким образом, площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна \( 108 \) квадратных единиц.
5.1.12
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь её поверхности равна 288.
Найдите высоту призмы.
-
Для нахождения высоты прямой треугольной призмы, сначала найдем площадь основания и используем формулу для площади поверхности призмы.
1. Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника):
Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]
где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника. В нашем случае:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24
\]
2. Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Площадь полной поверхности \( S_{\text{пол}} \) призмы равна сумме площади основания, площади боковой поверхности и площади второго основания. Поскольку основания одинаковы, мы можем выразить полную площадь как:
\[
S_{\text{пол}} = 2S + S_{\text{бок}}
\]
где \( S_{\text{бок}} = P \cdot h \), а \( P \) — периметр основания.
3. Найдем периметр основания. Периметр \( P \) прямоугольного треугольника можно найти следующим образом:
\[
P = a + b + c
\]
где \( c \) — гипотенуза. Гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
Теперь подставим значения:
\[
P = 6 + 8 + 10 = 24
\]
4. Теперь подставим все известные значения в формулу для площади полной поверхности:
Площадь полной поверхности равна 288:
\[
288 = 2S + S_{\text{бок}}
\]
Подставим \( S = 24 \) и \( S_{\text{бок}} = P \cdot h = 24h \):
\[
288 = 2 \cdot 24 + 24h
\]
Упрощаем уравнение:
\[
288 = 48 + 24h
\]
Вычтем 48 из обеих сторон:
\[
240 = 24h
\]
5. Решим уравнение для нахождения высоты:
\[
h = \frac{240}{24} = 10
\]
Таким образом, высота призмы равна \( 10 \) единиц.
5.1.13
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000 см3 воды и погрузили в воду деталь.
При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в
см3.
-
80
5.1.14
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 4 см. На какой высоте будет находиться
уровень воды, если её перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого?
-
Чтобы решить задачу, начнем с определения объема воды в первом сосуде.
1. Объем первого сосуда:
Обозначим сторону основания первого сосуда как \( a \). Площадь основания правильной треугольной призмы можно выразить через сторону \( a \):
\[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]
Объем воды в первом сосуде, когда уровень воды 4 см, будет равен:
\[
V_1 = S_1 \cdot h_1 = S_1 \cdot 4 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot 4 = \sqrt{3} a^2
\]
2. Сосуд с большей стороной основания:
Сторона основания второго сосуда будет \( 2a \). Площадь основания второго сосуда будет:
\[
S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4a^2 = \sqrt{3} a^2
\]
3. Объем воды:
Объем воды остается прежним и равен \( V_1 = \sqrt{3} a^2 \).
4. Высота уровня воды во втором сосуде:
Обозначим высоту уровня воды во втором сосуде как \( h_2 \). Тогда объем воды во втором сосуде будет:
\[
V_2 = S_2 \cdot h_2 = \sqrt{3} a^2 \cdot h_2
\]
Поскольку объем воды не изменился, имеем:
\[
V_1 = V_2
\]
То есть:
\[
\sqrt{3} a^2 = \sqrt{3} a^2 \cdot h_2
\]
Упрощая, получаем:
\[
1 = h_2
\]
Таким образом, уровень воды во втором сосуде будет находиться на высоте 1 см.
5.1.15
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 32,
проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
-
8
5.1.16
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру.
Объём отсечённой треугольной призмы равен 5. Найдите объём исходной призмы.
-
20
5.1.17
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость,
параллельная боковому ребру.Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 12.
Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
-
24
5.1.18
В кубе ABCDA1B1C1D1
точки E, F, E1 и F1 являются серединами рёбер BC, DC, B1C1
и D1C1 соответственно.
Объём призмы, отсекаемой от куба плоскостью EFF1, равен 1. Найдите объём куба.
-
Для решения задачи найдем объем куба, используя информацию о призме, отсекаемой плоскостью \( EFF_1 \).
1. Определим координаты точек:
Пусть куб имеет длину ребра \( a \). Тогда его вершины можно задать следующими координатами:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A_1(0, 0, a) \)
- \( B_1(a, 0, a) \)
- \( C_1(a, a, a) \)
- \( D_1(0, a, a) \)
2. Координаты точек E, F, E1 и F1:
- \( E \) — середина ребра \( BC \): \( E\left(a, \frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( F \) — середина ребра \( DC \): \( F\left(\frac{a}{2}, a, 0\right) \)
- \( E_1 \) — середина ребра \( B_1C_1 \): \( E_1\left(a, \frac{a}{2}, a\right) \)
- \( F_1 \) — середина ребра \( D_1C_1 \): \( F_1\left(\frac{a}{2}, a, a\right) \)
3. Уравнение плоскости EFF1:
Плоскость проходит через точки \( E \), \( F \) и \( F_1 \). Для нахождения уравнения плоскости используем векторное произведение.
Векторы:
- \( \overrightarrow{EF} = F - E = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( \overrightarrow{EF_1} = F_1 - E = \left(-\frac{a}{2}, a, a\right) \)
Теперь найдем нормальный вектор к плоскости:
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EF_1}
\]
Вычисляем детерминант:
\[
\overrightarrow{n} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\
-\frac{a}{2} & a & a
\end{vmatrix}
=
\hat{i}\left(\frac{a^2}{2}\right) -
\hat{j}\left(-\frac{a^2}{4}\right) +
\hat{k}\left(\frac{a^2}{4}\right)
=
\left(\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{4}, -\frac{a^2}{4}\right)
\]
4. Объем отсеченной призмы:
Плоскость делит куб на две части. Объем отсеченной призмы равен 1. Поскольку плоскость проходит через середины рёбер и делит куб на две равные части по высоте, объем отсеченной части будет равен \( V_{\text{отсеченной}} = kV_{\text{куба}} = 1\), где \( k = 1/8\).
5. Найдем объем куба:
Объем куба определяется как:
\[
V_{\text{куба}} = a^3
\]
Учитывая, что отсеченная призма составляет одну восьмую часть куба:
\[
kV_{\text{куба}} = 1
\]
Подставляем:
\[
\frac{1}{8} a^3 = 1
\]
Отсюда:
\[
a^3 = 8
\]
Таким образом, объем куба равен:
\[
V_{\text{куба}} = 8
\]
Таким образом, объем куба равен 8.
5.1.19
Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°.
Боковое ребро равно 3. Найдите диагональ призмы.
-
Для нахождения диагонали правильной четырёхугольной призмы, мы будем использовать геометрические свойства и тригонометрию.
1. Определим параметры призмы:
- Боковое ребро \( h = 3 \).
- Угол наклона диагонали к плоскости основания \( \theta = 30^\circ \).
2. Найдем длину диагонали основания:
Правильная четырёхугольная призма имеет квадратное основание. Обозначим сторону квадрата основания как \( a \). Длина диагонали квадрата \( d_{\text{осн}} \) вычисляется по формуле:
\[
d_{\text{осн}} = a\sqrt{2}
\]
3. Найдем длину диагонали призмы:
Диагональ призмы \( D \) образует с боковым ребром и диагональю основания прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора для нахождения длины диагонали призмы:
\[
D = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + h^2}
\]
4. Связь между углом наклона и высотой:
Угол наклона диагонали к плоскости основания равен \( 30^\circ \). Мы можем выразить высоту \( h \) через длину диагонали \( D \) и угол наклона:
\[
h = D \sin(30^\circ)
\]
Так как \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), получаем:
\[
h = \frac{D}{2}
\]
5. Подставим значение высоты:
Известно, что \( h = 3 \):
\[
3 = \frac{D}{2} \implies D = 6
\]
6. Теперь можем найти длину диагонали основания:
Подставим \( D = 6 \) в уравнение для диагонали призмы:
\[
D = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + h^2}
\]
Подставляем \( h = 3 \):
\[
6 = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + 3^2} = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + 9}
\]
Квадратируем обе стороны:
\[
36 = d_{\text{осн}}^2 + 9
\]
Отсюда:
\[
d_{\text{осн}}^2 = 36 - 9 = 27
\]
Таким образом:
\[
d_{\text{осн}} = 3\sqrt{3}
\]
7. Подставим обратно для нахождения диагонали призмы:
Теперь мы знаем длину диагонали основания и можем найти саму диагональ призмы, используя данные выше.
Таким образом, диагональ призмы равна 6.
5.1.20
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
известны длины рёбер: AB=27,AD=36,AA1=10.
Найдите площадь сечения, проходящего через вершины D, D1 и В.
-
450
5.1.21
В правильной четырёхугольной призме
ABCDA1B1C1D1 ребро АА1 равно 8,
а диагональ BD1 равна 17.
Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки А, А1 и С
-
120
5.1.22
Найдите площадь поверхности прямой призмы с боковым ребром, равным 5, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4.
-
Для нахождения площади поверхности прямой призмы, нам нужно учитывать площадь основания и площадь боковых граней.
1. Площадь основания (ромба):
Ромб можно разбить на два равных треугольника по одной из диагоналей. Площадь ромба можно вычислить по формуле:
\[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
\]
где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей. В нашем случае \( d_1 = 3 \) и \( d_2 = 4 \):
\[
S = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6.
\]
2. Площадь боковых граней:
Боковые грани призмы представляют собой прямоугольники. У нас 4 боковые грани, и каждая из них имеет высоту (длину бокового ребра) равную 5 и ширину равную стороне ромба.
Чтобы найти длину стороны ромба, используем формулу для нахождения стороны ромба по диагоналям:
\[
a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}.
\]
Подставим значения:
\[
a = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(1.5\right)^2 + \left(2\right)^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5.
\]
Площадь одной боковой грани:
\[
S_{бок} = a \cdot h = 2.5 \cdot 5 = 12.5.
\]
Поскольку у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней:
\[
S_{бокит} = 4 \cdot S_{бок} = 4 \cdot 12.5 = 50.
\]
3. Общая площадь поверхности призмы:
Общая площадь поверхности призмы будет равна сумме площади двух оснований и площади боковых граней:
\[
S_{общ} = 2S + S_{бокит} = 2 \cdot 6 + 50 = 12 + 50 = 62.
\]
Таким образом, площадь поверхности прямой призмы равна \( 62 \).