Перемножение Вероятностей
1. На складе на одном стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных клавиатур: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. На другом стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных компьютерных мышей: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. Найдите вероятность того, что случайно выбранные клавиатура и мышь будут чёрного цвета.
-
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранные клавиатура и мышь будут черного цвета, нужно рассмотреть два события:
1. Выбор черной клавиатуры.
2. Выбор черной мыши.
Шаг 1: Вероятность выбора черной клавиатуры
На первом стеллаже всего 50 клавиатур, из которых 30 черные. Следовательно, вероятность выбора черной клавиатуры:
\[
P(\text{черная клавиатура}) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}.
\]
Шаг 2: Вероятность выбора черной мыши
На втором стеллаже также всего 50 мышей, из которых 30 черные. Следовательно, вероятность выбора черной мыши:
\[
P(\text{черная мышь}) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}.
\]
Шаг 3: Общая вероятность выбора черной клавиатуры и черной мыши
Поскольку выбор клавиатуры и мыши независимы, общая вероятность того, что обе будут черного цвета, равна произведению их вероятностей:
\[
P(\text{черная клавиатура и черная мышь}) = P(\text{черная клавиатура}) \times P(\text{черная мышь}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}.
\]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранные клавиатура и мышь будут черного цвета, составляет \(\frac{9}{25}\) или 0.36.
2. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая - 0,15. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.
-
Для нахождения вероятности того, что обе лампочки перегорели, нужно перемножить вероятности их перегорания, так как события независимы.
Обозначим:
- \( P(A) \) — вероятность, что первая лампочка перегорела: \( P(A) = 0.18 \).
- \( P(B) \) — вероятность, что вторая лампочка перегорела: \( P(B) = 0.15 \).
Теперь найдем вероятность того, что обе лампочки перегорели:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.18 \times 0.15.
\]
Вычислим:
\[
P(A \cap B) = 0.18 \times 0.15 = 0.027.
\]
Таким образом, вероятность того, что обе лампочки перегорели, составляет \( 0.027 \)
3. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая - 0,15. Найдите вероятность того, что обе лампочки горят.
-
Чтобы найти вероятность того, что обе лампочки горят, сначала нужно найти вероятность того, что каждая из них не перегорела.
Обозначим:
- \( P(A) \) — вероятность, что первая лампочка перегорела: \( P(A) = 0.18 \).
- \( P(B) \) — вероятность, что вторая лампочка перегорела: \( P(B) = 0.15 \).
Вероятности того, что лампочки горят, равны:
- \( P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.18 = 0.82 \) (первая лампочка горит).
- \( P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.15 = 0.85 \) (вторая лампочка горит).
Теперь найдем вероятность того, что обе лампочки горят:
\[
P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = 0.82 \times 0.85.
\]
Вычислим:
\[
P(A' \cap B') = 0.82 \times 0.85 = 0.697.
\]
Таким образом, вероятность того, что обе лампочки горят, составляет \( 0.697 \)
4. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая - 0,15. Найдите вероятность того, что горит только первая лампочка, а вторая перегорела.
-
Чтобы найти вероятность того, что горит только первая лампочка, а вторая перегорела, нужно учитывать следующие вероятности:
- Вероятность того, что первая лампочка горит:
\[
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.18 = 0.82.
\]
- Вероятность того, что вторая лампочка перегорела:
\[
P(B) = 0.15.
\]
Теперь вероятность того, что первая лампочка горит, а вторая перегорела, можно найти, перемножив эти вероятности:
\[
P(A' \cap B) = P(A') \times P(B) = 0.82 \times 0.15.
\]
Вычислим:
\[
P(A' \cap B) = 0.82 \times 0.15 = 0.123.
\]
Таким образом, вероятность того, что горит только первая лампочка, а вторая перегорела, составляет \( 0.123 \) или \( 12.3\% \).
5. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая - 0,15. Найдите вероятность того, что горит только вторая лампочка, а первая перегорела.
-
ChatGPT 4 Для нахождения вероятности того, что горит только вторая лампочка, а первая перегорела, нужно учесть следующие вероятности:
- Вероятность того, что первая лампочка перегорела:
\[
P(A) = 0.18.
\]
- Вероятность того, что вторая лампочка горит:
\[
P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.15 = 0.85.
\]
Теперь вероятность того, что первая лампочка перегорела, а вторая горит, можно найти, перемножив эти вероятности:
\[
P(A \cap B') = P(A) \times P(B') = 0.18 \times 0.85.
\]
Вычислим:
\[
P(A \cap B') = 0.18 \times 0.85 = 0.153.
\]
Таким образом, вероятность того, что горит только вторая лампочка, а первая перегорела, составляет \( 0.153 \)
6. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая - 0,15. Найдите вероятность того, что горит хотя бы одна лампочка.
-
Для нахождения вероятности того, что горит хотя бы одна лампочка, проще всего использовать правило о вероятности противоположного события.
Сначала найдем вероятность того, что обе лампочки перегорели:
- Вероятность того, что первая лампочка перегорела:
\[
P(A) = 0.18.
\]
- Вероятность того, что вторая лампочка перегорела:
\[
P(B) = 0.15.
\]
Теперь найдем вероятность того, что обе лампочки перегорели:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.18 \times 0.15 = 0.027.
\]
Теперь найдем вероятность того, что хотя бы одна лампочка горит:
\[
P(\text{хотя бы одна горит}) = 1 - P(\text{обе перегорели}) = 1 - P(A \cap B).
\]
Подставим значение:
\[
P(\text{хотя бы одна горит}) = 1 - 0.027 = 0.973.
\]
Таким образом, вероятность того, что горит хотя бы одна лампочка, составляет \( 0.973 \) или \( 97.3\% \).
7. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
-
Для решения этой задачи будем использовать правило о вероятности противоположного события.
1. Вероятность перегорания одной лампы:
\[
P(\text{перегорает}) = 0.1.
\]
2. Вероятность того, что одна лампа не перегорит:
\[
P(\text{не перегорает}) = 1 - P(\text{перегорает}) = 1 - 0.1 = 0.9.
\]
3. Вероятность того, что все три лампы перегорят:
Поскольку события перегорения ламп независимы, вероятность того, что все три лампы перегорят:
\[
P(\text{все перегорят}) = P(\text{перегорает})^3 = 0.1^3 = 0.001.
\]
4. Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит:
Теперь найдем вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит:
\[
P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - P(\text{все перегорят}) = 1 - 0.001 = 0.999.
\]
Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит, составляет \( 0.999 \)
8. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
-
Чтобы найти вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит, можно использовать правило о вероятности противоположного события.
1. Вероятность перегорания одной лампы:
\[
P(\text{перегорает}) = 0.3.
\]
2. Вероятность того, что одна лампа не перегорит:
\[
P(\text{не перегорает}) = 1 - P(\text{перегорает}) = 1 - 0.3 = 0.7.
\]
3. Вероятность того, что все три лампы перегорят:
Поскольку события перегорения ламп независимы, вероятность того, что все три лампы перегорят:
\[
P(\text{все перегорят}) = P(\text{перегорает})^3 = 0.3^3 = 0.027.
\]
4. Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит:
Теперь найдем вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит:
\[
P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - P(\text{все перегорят}) = 1 - 0.027 = 0.973.
\]
Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит, составляет \( 0.973 \)
9. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
-
Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен, можно использовать правило о вероятности противоположного события.
1. Вероятность неисправности одного автомата:
\[
P(\text{неисправен}) = 0.03.
\]
2. Вероятность исправности одного автомата:
\[
P(\text{исправен}) = 1 - P(\text{неисправен}) = 1 - 0.03 = 0.97.
\]
3. Вероятность того, что оба автомата неисправны:
Поскольку события неисправности автоматов независимы, вероятность того, что оба автомата неисправны:
\[
P(\text{оба неисправны}) = P(\text{неисправен}) \times P(\text{неисправен}) = 0.03 \times 0.03 = 0.0009.
\]
4. Вероятность того, что хотя бы один автомат исправен:
Теперь найдем вероятность того, что хотя бы один автомат исправен:
\[
P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - P(\text{оба неисправны}) = 1 - 0.0009 = 0.9991.
\]
Таким образом, вероятность того, что хотя бы один автомат исправен, составляет \( 0.9991 \)
10. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9. Он стреляет пять раз. Найдите вероятность того, что он попадёт в мишень все пять раз.
-
Чтобы найти вероятность того, что биатлонист попадет в мишень все пять раз, можно использовать правило умножения для независимых событий.
Вероятность попадания в мишень за один выстрел составляет \( P = 0.9 \). Поскольку выстрелы независимы, вероятность того, что он попадет в мишень все пять раз, можно вычислить следующим образом:
\[
P(\text{попадет 5 раз}) = P \times P \times P \times P \times P = P^5 = 0.9^5.
\]
Теперь вычислим \( 0.9^5 \):
\[
0.9^5 = 0.59049.
\]
Таким образом, вероятность того, что биатлонист попадет в мишень все пять раз, составляет \( 0.59049 \)
11. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,7. Он стреляет пять раз. Найдите вероятность того, что он не попадёт в мишень ни одного раза.
-
0,00243
12. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Гроссмейстеры A. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
-
Чтобы найти вероятность того, что гроссмейстер А выиграет обе партии, нужно учитывать вероятности выигрыша в каждой из партий.
1. Первая партия: Гроссмейстер А играет белыми. Вероятность выигрыша:
\\[
P(\\text{выигрыш в 1-й партии}) = 0.5.
\\]
2. Вторая партия: Гроссмейстер А играет черными. Вероятность выигрыша:
\\[
P(\\text{выигрыш во 2-й партии}) = 0.32.
\\]
Теперь, поскольку результаты партий независимы, общая вероятность того, что А выиграет обе партии, будет произведением вероятностей выигрыша в каждой из партий:
\\[
P(\\text{выигрыш обеих партий}) = P(\\text{выигрыш в 1-й партии}) \\times P(\\text{выигрыш во 2-й партии}) = 0.5 \\times 0.32.
\\]
Вычислим это:
\\[
P(\\text{выигрыш обеих партий}) = 0.5 \\times 0.32 = 0.16.
\\]
Таким образом, вероятность того, что гроссмейстер А выиграет обе партии, составляет \\( 0.16 \\)
13. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,56. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
-
0,168
14. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет с командами «Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче.
-
Рассмотрим задачу. Судья бросает монету перед каждым матчем, чтобы определить, какая команда будет первой владеть мячом. Скажем, что «Витязь» получает право первой простоя только тогда, когда выпадает «орел», а «Атлант» или «Титан» — когда выпадает «решка». Таким образом, мы имеем:
- Степень уверенности, что «Витязь» начинает первую игру: \( P(V) = \frac{1}{2} \)
- Вероятность того, что во второй игре «Витязь» тоже начнет матчи: \( P(V) = \frac{1}{2} \)
Мы рассматриваем 2 матча: один с командой «Атлант» и другой с «Титаном». Необходимо найти вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном из матчей. Это означает, что во всех случаях выпала «решка».
Вероятность того, что «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом в одном матче: \( P(\text{не } V) = \frac{1}{2} \).
Поскольку матчи независимы, вероятность того, что «Витязь» не выиграет ни в одном из 2 матчей, будет равна произведению вероятностей для обоих матчей:
\[
P(\text{не } V \text{ в обоих матчах}) = P(\text{не } V) \times P(\text{не } V) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
\]
Таким образом, вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче, составляет \(\frac{1}{4}\) или 0.25
15. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».
-
0,125
16. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Хуторянка» по очереди играет с командами «Радуга», «Дружба», «Заря» и «Воля». Найдите вероятность того, что команда «Хуторянка» будет первой владеть мячом только в первых двух играх.
-
0,0625
17. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» по очереди играет с командами «Амур», «Енисей» и «Иртыш». Найдите вероятность того, что команда «Байкал» будет первой владеть мячом только в игре с «Амуром».
-
0,125
18. Перед началом матча по американскому футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Барсы» по очереди играет с командами «Тигры», «Львы» и «Орлы». Найдите вероятность того, что в двух первых матчах право первой владеть мячом выиграет команда «Барсы», а в третьем - команда «Орлы».
-
0,125
19. Перед началом волейбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Байкал» по очереди играет с командами «Амур», «Енисей», «Вилюй» и «Иртыш». Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах право первой владеть мячом выиграет команда «Байкал».
-
0,375
2
-
Для того чтобы СМС было отправлено именно с третьей попытки, необходимо, чтобы первые две попытки были неудачными, а третья — успешной.
Обозначим:
- Вероятность успеха (СМС отправляется) = \( P(U) = 0.8 \)
- Вероятность неудачи (СМС не отправляется) = \( P(NU) = 1 - P(U) = 0.2 \)
Теперь будем находить вероятность того, что будут выполнены следующие условия:
1. Первая попытка неудачна: \( P(NU) = 0.2 \)
2. Вторая попытка неудачна: \( P(NU) = 0.2 \)
3. Третья попытка успешна: \( P(U) = 0.8 \)
Так как эти события независимы, общая вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий:
\[
P(\text{СМС будет отправлена с третьей попытки}) = P(NU) \times P(NU) \times P(U) = 0.2 \times 0.2 \times 0.8
\]
Теперь вычислим:
\[
P = 0.2 \times 0.2 \times 0.8 = 0.04 \times 0.8 = 0.032
\]
Таким образом, вероятность того, что СМС будет отправлена с третьей попытки, составляет \( 0.032 \)
2
-
\[
P(\text{2 промаха и 1 попадание на 3-й попытке}) = (1 - p)^2 \cdot p = (0.4)^2 \cdot (0.6)
\]
Вычислим:
\[
P = 0.4^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096
\]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется ровно три попытки, равна **0.096**.
2
-
Вероятность попадания в каждом выстреле равна \( p = 0.8 \). Вероятность промаха \( q = 1 - p = 0.2 \).
Нам нужно найти вероятность того, что стрелку потребуется больше трех попыток, что означает, что он промахнется в первых трех попытках. Это можно рассчитать как:
\[
P(\text{Больше 3 попыток}) = q^3 = 0.2^3
\]
Вычислим:
\[
P = 0.2^3 = 0.008
\]
Следовательно, вероятность того, что стрелку потребуется больше трех попыток, равна **0.008**.
-
Вероятности того, что товар доставят из магазинов А и Б, равны \( P(A) = 0.94 \) и \( P(B) = 0.8 \) соответственно.
Вероятность того, что товар не будет доставлен из магазина А, равна:
\[
P(\text{не A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.94 = 0.06
\]
А из магазина Б:
\[
P(\text{не B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.8 = 0.2
\]
Поскольку интернет-магазины работают независимо, вероятность того, что ни один магазин не доставит товар, равна произведению вероятностей:
\[
P(\text{ни один не доставит}) = P(\text{не A}) \cdot P(\text{не B}) = 0.06 \cdot 0.2
\]
Вычислим:
\[
P = 0.06 \cdot 0.2 = 0.012
\]
Таким образом, вероятность того, что ни один магазин не доставит товар, равна 0.012.
2
-
0,7