Вероятности. Стартовые задачи на вероятноть.
1.
В сборнике билетов по физике всего 40 билетов, в 6 из
них встречается вопрос по термодинамике.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику встретится вопрос по
термодинамике.
Ответ:
\[
P = \frac{N_{\text{успех}}}{N_{\text{всего}}}
\]
где:
- \(N_{\text{успех}}\) — количество благоприятных исходов (в данном случае количество билетов с вопросами по термодинамике),
- \(N_{\text{всего}}\) — общее количество исходов (в данном случае общее количество билетов).
В данной задаче:
- \(N_{\text{успех}} = 6\) (количество билетов с вопросами по термодинамике),
- \(N_{\text{всего}} = 40\) (общее количество билетов).
Подставляем значения в формулу:
\[
P = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} = 0.15
\]
Таким образом, вероятность того, что в случайно выбранном билетe будет вопрос по термодинамике, составляет \(0.15\) или \(15\%\).
0,15
2.
Максим с папой решили покататься на колесе обозрения.
Всего на колесе 30 кабинок, из них 11 - синие, 7 - зелёные, остальные - оранжевые.
Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.
Ответ:
1. **Определить общее количество кабинок.**
Всего кабинок: 30.
2. **Определить количество кабинок каждого цвета.**
- Синие: 11
- Зеленые: 7
- Оранжевые: \(30 - (11 + 7) = 30 - 18 = 12\)
Таким образом, количество оранжевых кабинок: 12.
3. **Рассчитать вероятность.**
Вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке, определяется как отношение количества благоприятных исходов (количество оранжевых кабинок) к общему количеству исходов (общее количество кабинок):
\[
P = \frac{N_{\text{оранжевые}}}{N_{\text{всего}}}
\]
где:
- \(N_{\text{оранжевые}} = 12\) (количество оранжевых кабинок)
- \(N_{\text{всего}} = 30\) (общее количество кабинок)
Подставим значения:
\[
P = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0.4
\]
4. **Результат.**
Таким образом, вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке, составляет \(0.4\) или \(40\%\).
3. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Ответ:
- Всего насосов: 2000
- Подтекающие насосы: 2
- Не подтекающие насосы: 2000 - 2 = 1998
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{не подтекающие}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{1998}{2000} = 0.999
\]
4.В среднем из каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 48 аккумуляторов заряжены.
Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
Ответ:
- Всего аккумуляторов: 50
- Заряженные: 48
- Не заряженные: 50 - 48 = 2
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{не заряженные}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{2}{50} = 0.04
\]
5.В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны.
Найдите вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным.
Ответ:
- Всего фонариков: 500
- Неисправные: 5
- Исправные: 500 - 5 = 495
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{исправные}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{495}{500} = 0.99 = 99\%
\]
6 .В среднем из 100 арбузов, поступивших в продажу, 35 неспелых.
Найдите вероятность того, что один купленный арбуз окажется спелым.
Ответ:
- Всего арбузов: 100
- Неспелых: 35
- Спелых: 100 - 35 = 65
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{спелые}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{65}{100} = 0.65
\]
7 .В среднем из 1000 дамских сумок, поступивших в продажу, 12 с дефектами.
Найдите вероятность того, что одна купленная дамская сумка окажется без дефектов.
Ответ:
- Всего сумок: 1000
- С дефектами: 12
- Без дефектов: 1000 - 12 = 988
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{без дефектов}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{988}{1000} = 0.988
\]
8.
В среднем из 1500 лампочек, поступивших в продажу, 3 неисправны.
Найдите вероятность того, что одна купленная лампочка окажется исправной.
Ответ:
- Всего лампочек: 1500
- Неисправные: 3
- Исправные: 1500 - 3 = 1497
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{исправные}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{1497}{1500} = 0.998
\]
9.
В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 990 девочек.
Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Ответ:
- Всего младенцев: 2000
- Девочек: 990
- Мальчиков: 2000 - 990 = 1010
Частота:
\[
\text{Частота мальчиков} = \frac{N_{\text{мальчики}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{1010}{2000} = 0.505
\]
10. В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 6 из них встречается вопрос по электростатике.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику встретится вопрос по
электростатике.
Ответ:
- Всего билетов: 20
- Билетов с вопросом по электростатике: 6
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{электростатика}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{6}{20} = 0.3
\]
11. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?
Ответ:
Числа от 33 до 52: \(33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52\) (всего 20 чисел).
Числа, которые делятся на 4: \(36, 40, 44, 48, 52\) (всего 5 чисел).
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{5}{20} = 0.25
\]
12. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52
не делится на четыре?
Ответ:
Если 5 из 20 чисел делятся на 4, то 15 не делятся на 4.
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{15}{20} = 0.75
\]
13.
В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 4 чёрных, 3 синих и 9 белых. По По вызову выехала одна из машин,
случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице.Найдите вероятность того, что к ней приедет чёрное такси.
Ответ:
- Всего машин: 16
- Черные: 4
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{N_{\text{черные}}}{N_{\text{всего}}} = \frac{4}{16} = 0.25
\]
14. В классе 25 человек, среди них у четверых в году пятёрки по теории вероятностей,
а у пятерых в году пятёрки по биологии. При этом нет никого, у кого были бы пятёрки по этим двум предметам.
Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик класса имеет пятёрку по одному из этих двух предметов.
Ответ:
- Общее количество учеников: 25
- Пятёрки по теории вероятностей: 4
- Пятёрки по биологии: 5
Суммарное количество учащихся с пятёрками: \(4 + 5 = 9\).
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{9}{25} = 0.36
\]
15 .
В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно.
Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.
Ответ:
- Каждая пятая банка имеет приз, значит, шанс покупки банки без приза = 4/5.
Вероятность \(P\):
\[
P = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0.8
\]
16. Из множества натуральных чисел от 28 до 47 наудачу выбирают одно число
Какова вероятность того, что оно делится на 3?
Ответ:
Числа от 28 до 47: \(28, 29, \ldots, 47\) (всего 20 чисел).
Числа, которые делятся на 3: \(30, 33, 36, 39, 42, 45\) (всего 6 чисел).
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{6}{20} = 0.3
\]
17.
Из множества натуральных чисел от 30 до 41 наудачу выбирают одно
число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?
Ответ:
Числа, которые делятся на 5: \(30, 35, 40\) (всего 3 числа).
Всего чисел от 30 до 41: 12.
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{3}{12} = 0.25
\]
18.
Какова вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится нацело на 195?
Ответ округлите до тысячных.
Ответ:
Трехзначные числа от 100 до 999.
Находим первое и последнее трехзначные числа, делящиеся на 195:
- Первое: 195
- Последнее: 975
Количество чисел:
\[
\frac{975 - 195}{195} + 1 = \frac{780}{195} + 1 = 4 + 1 = 5
\]
Вероятность:
Трехзначных чисел всего: \(999 - 100 + 1 = 900\).
\[
P = \frac{5}{900} \approx 0.0056 \text{ (округлено до тысячных: 0.006)}
\]
19.
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 35 до 46 делится на 5?
Ответ:
Числа, которые делятся на 5: \(35, 40, 45\) (всего 3 числа).
Всего чисел от 35 до 46: 12.
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{3}{12} = 0.25
\]
20.
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 82 до 96 делится на 6?
Ответ:
Числа, которые делятся на 6: \(84, 90, 96\) (всего 3 числа).
Всего чисел от 82 до 96: 15.
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{3}{15} = 0.2
\]
21 . Клиент получает в банке кредитную карту. Четыре последние цифры номера карты случайные.
Какова вероятность того, что эти последние четыре цифры идут подряд в порядке убывания, например,
3210 или 6543?
Ответ:
Если последние четыре цифры карты должны идти в строгом порядке убывания и должны быть последовательными, например, 4321, 5432 и т.д., то это означает, что мы можем использовать только последовательности, где каждая последующая цифра меньше предыдущей на 1.
### Возможные последовательности
Мы можем перечислить все возможные комбинации четырех последовательных цифр, которые соблюдают это правило:
1. 9876
2. 8765
3. 7654
4. 6543
5. 5432
6. 4321
7. 3210
Таким образом, у нас есть 7 возможных последовательностей, и они представляют все случайные перестановки, которые соответствуют требованиям задачи.
### Общее число возможных комбинаций
Как было упомянуто ранее, общее количество всех возможных комбинаций последних четырех цифр составляет:
\[
10^4 = 10000
\]
Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что последние четыре цифры карты идут в строго убывающем порядке:
\[
P = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество случаев}} = \frac{7}{10000} = 0.0007
\]
22.
Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного абонента совпадают?
Ответ:
Каждая цифра от 0 до 9.
Рассмотрим ситуацию, где последние три цифры полностью совпадают. Только 10 комбинаций (000, 111, ..., 999) подходят.
Общее количество случаев для трёх цифр: \(10^3 = 1000\).
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{10}{1000} = 0.01
\]
23 .
Какова вероятность того, что последние две цифры телефонного номера
случайного абонента в сумме дают 10?
Ответ:
Подходящие пары:
(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)- всего 9 пар.
Общее количество сочетаний для двух цифр: \(10 \times 10 = 100\) (первые и вторые цифры могут быть от 0 до 9).
Вероятность \(P\):
\[
P = \frac{9}{100} = 0.09
\]